Por Juan José Betancur Muñoz

La información que se conserva sobre prácticas geométricas en la Grecia de la era anterior es particularmente escasa. Las obras originales no han sobrevivido y lo que se conoce se hace a través de manuscritos posteriores; es decir, transcripciones realizadas a partir de los escritos originales. Un conjunto específico de estas herramientas buscaban suministrar elementos a partir de los cuales se podría realizar una construcción geométrica específica.

Diferentes autores –por ejemplo, Hintikka; Remes, 1974; Mahoney, 1968- han ofrecido interpretaciones acerca de la relación entre el estudio de los fundamentos de una construcción y la reorganización de los mismos -generalmente denominados análisis y síntesis respectivamente-. La aproximación a dichos procedimientos se ha realizado en una forma que posee dos problemas fundamentales: su estudio se ha hecho a partir de un texto introductorio de Pappus –que se encuentra en el Libro VII de la Collectio y fue escrito posiblemente unos seiscientos años después de que se desarrollaran las obras más antiguas relacionadas con dichos procedimientos- (Hultsch, 1875-8: 634). Dicha descripción ha sido estudiada a partir de herramientas de sintaxis lógica y de esta manera ha dado pie al surgimiento de problemas ajenos a la práctica original.

El manuscrito que conserva los escritos de Pappus ha sido objeto de múltiples estudios y traducciones, entre otros, por el enorme interés que ofrece su descripción general de lo que para él era el καλούμενος Ἀναλυόμενος –literalmente «el, así llamado, análisis» o «El denominado análisis»-. Aunque cada autor ha ofrecido una explicación particular sobre el desarrollo de esta práctica geométrica, es posible organizar las diferentes aproximaciones en dos corrientes generales de acuerdo a su posición respecto a la dirección implicativa del proceso.

Estas corrientes van guiadas por un interés particular en dos frases del prefacio. En la primera frase: διά των ἑξῆς ἀκολούθων  (a través de los que se siguen en orden) se ha entendido como una derivación deductiva de consecuentes a partir de antecedentes (Mahoney, 1968) -en la forma en que se realiza en la lógica proposicional moderna-. En la segunda: [τοῦ] τοῦτο συμβαίνει (desde eso que resulta); y, καὶ πάλιν ἐκείνου τὸ προηγούμενον (y de nuevo, hacia lo que le precede); se ha interpretado como el estudio de consecuentes a partir de antecedentes (Hintikka, 1974).

Lo que se busca aquí, no es argumentar en contra de la existencia de un procedimiento que genere relaciones de implicación en los ejercicios de inter-determinación y construcción -en cualquiera de las dos direcciones-, sino que la forma en que se dan dichas implicaciones supera en complejidad la estructura diseñada por los autores y, por consiguiente, falla en dar cuenta de la naturaleza de la práctica investigada. Es decir, el proceso de inter-determinación y posterior reorganización exhibe modos de proceder más complejos y una relación entre las figuras y sus verbalizaciones con múltiples matices que palidecen en las explicaciones que se apoyan en las dos posiciones de este enfoque.

Entre quienes examinan el proceso de inter-determinación en el sentido de una extracción de consecuencias, el proceso comprende un camino que parte de aquello que se pide y, derivando consecuencias, arriba a algo que ya ha sido establecido como cierto. Para la posición que pre pondera el razonamiento en sentido inverso, dicho proceso se desarrolla por medio de la intuición de antecedentes que tengan como consecuente aquello que es solicitado en el problema.

La primera posición se enfrenta a un conjunto de dificultades. El primero, es la necesaria reversibilidad que deben poseer las relaciones establecidas entre las diferentes proposiciones –ya que así lo solicita la síntesis- y esto según algunos autores resta valor a la práctica (Hintikka; Remes, 1974: 37); el segundo, es que la palabra ἀκόλουθος (akoluthos) expresa un tipo de relación consecuencial complejo. En una relación de este tipo de la presencia de A y B no se sigue necesariamente C, sino que esta última puede ser construida por la presencia de las primeras y la forma en que se relacionan espacialmente: C surge de la presencia y la relación contextual entre A y B. Finalmente, esta explicación no puede dar cuenta de las construcciones auxiliares introducidas en algunos ejercicios ya que dicho proceso no se realiza de manera consecuencial.

La posición que defiende el sentido inverso posee igualmente un grupo de problemas. De un lado, esta interpretación del texto de Pappus hace de la síntesis un proceso innecesario. Las relaciones ya se encuentran en el orden natural y desde el punto de vista lógico no hay nada por demostrar: la cadena de relaciones es válida en el orden solicitado. Además, este enfoque posee fuertes dificultades para entrar en correspondencia con el contenido del texto de Pappus. Casi la totalidad del prefacio al Libro VII describe el proceso en términos de extracción de consecuencias (ἀκόλουθα), y la producción recurrente de la síntesis en los ejemplos de aplicación problematiza su eliminación.

Un examen a los ejercicios de aplicación muestra que ninguno de los dos procesos es incompatible con la práctica real. El problema aquí radica en el enfoque lógico proposicional que se asume al estudiar el prefacio. Al considerar las palabras de Pappus a la luz de esta perspectiva, los autores se encuentran con una enunciación inconsistente y un proceso enigmático y oscuro.

La práctica de estudio de construcciones puede considerarse como la aplicación de un conjunto de estrategias que facilitan la elaboración de figuras o diagramas geométricos bajo ciertas condiciones establecidas; en otras palabras, el ensamble de una estructura en la cual algunas relaciones y elementos ya se encuentran asignados. Estos últimos particularizan la situación y marcan el camino que ha de seguir su construcción. La característica principal de esas relaciones es que son de tipo espacial; es decir, implican propiedades de magnitud, posición y figura. El proceso varía de proposición a proposición, pues cada figura posee características específicas que determinan la forma en que se construyen; de hecho, una misma figura puede implicar posibles variantes que hacen que su construcción sea diferente. Generalmente, el ejercicio parte de la figura que se pide; esto es, supone que dicha figura (con las relaciones mencionadas) ha logrado construirse. Entonces, busca encontrar un punto a partir del cual pueda construirse dicha configuración, sin que dicho punto de partida dependa de los elementos que se suministran como dados en el planteamiento del problema. El proceso puede variar de acuerdo a la complejidad de las relaciones solicitadas. Los casos más extensos implican la introducción de construcciones auxiliares o figuras que se adhieren a la inicial relacionando el problema con otro que ya se haya solucionado. Puede notarse que los procesos y formas de razonamiento aquí esbozados superan en complejidad tanto la descripción suministrada por el prefacio al Libro VII como las explicaciones formuladas por los dos enfoques mencionados.

El prefacio de Pappus resulta oscuro porque la aproximación historiográfica de los autores es ambigua. Aunque todos proponen comprender históricamente la naturaleza de esta práctica -que posiblemente se estaba desarrollando a través del siglo cuarto de la era anterior- parten del estudio de una descripción que dista al menos cuatro siglos de la misma y la evalúan por medio de herramientas ajenas a dicho proceso. Estas herramientas, a saber: las pertenecientes al análisis sintáctico de la lógica, desvían la atención hacia la problemática que implica el razonamiento en ambas direcciones que parece encontrarse en el texto de Pappus. Lo que se quiere mostrar aquí, es que la explicación de la relación entre fundamentación y construcción no puede reducirse a una evaluación sintáctica que interprete el prefacio de Pappus.

En principio, podría afirmarse que el objetivo del estudio de la construcción es buscar las relaciones y elementos necesarios para construir una figura determinada, de modo que pueda partirse de un punto que no requiera justificación. Si es necesario han de introducirse elementos ajenos al problema, pero cuya implementación pueda ser justificada a partir los elementos que han sido dados. La dirección de acuerdo con la cual se realizan los razonamientos en el estudio es variable, ya que en el proceso de inter-determinación se realizan razonamientos que buscan consecuencias mientras que en la introducción de elementos se estudian posibles estructuras que permiten construir y este proceso no es consecuencial. La presentación final del estudio; es decir, los ejemplos de aplicación que se conservan, muestra que no hay un orden estricto en la introducción de los diferentes tipos de razonamiento y que, de acuerdo con las necesidades, pueden alternarse a lo largo del desarrollo. Esto sugiere que el proceso real de estudio; es decir, el enfrentamiento del geómetra y el problema en una suerte de ensayo y error hasta alcanzar los elementos adecuados, muy posiblemente fluctuó de manera constante entre una y otra dirección de razonamiento.

La Collectio de Pappus, en conjunto, representa uno de los recursos más importantes en el acceso a la comprensión de las prácticas geométricas antiguas.  Su estudio sumado al de las obras que se conservan de Apolonio y Euclides permite plantear una descripción del proceso que problematiza la explicación de tipo netamente sintáctico de algunos autores. El hecho de estudiar las prácticas de construcción a partir del prefacio es una tarea infructuosa, pues este solo pretende dar una idea del tema que se abordará en la obra y en ningún caso pretende ser un sustituto en la comprensión de la misma. Su escrito es una enunciación general de la práctica, la cual conocía y dominaba. Muestra de ello son los cientos de ejercicios sobre el tema en el Libro VII. El desarrollo de dichas soluciones comprende un proceso mucho más complejo y variado que el expuesto en su introducción y por ello deben convertirse en el verdadero foco de estudio de una investigación sobre este tema.

Referencias

Apollonius (1896). Apollonius of Perga Treatise on Conic Sections, T. L. Heath (Ed., tr.), Cambridge: Heffer.

Cornford, F. M. (1932). Mathematics and Dialectic in the Republic VI.-VII., Mind, Vol. 41, No. 161 (Jan., 1932), pp. 37-52.

Euclid (1883-1916). Opera Omnia (J.L. Heiberg; H. Menge (Eds., trads.)), 8 Vols., Leipzig: B.G.  Teubneri.

Heath, T. L. (1908). The Thirteen Books of Euclid’s Elements 3 Vols., Cambridge: Cambridge University Press.

Hintikka, J., Remes, U. (1974). The Method of Analysis: Its Geometrical Origin and Its General Significance, Dordrecht: D. Reidel

Jones, A. (1986). Pappus of Alexandria: Book 7 of the Collection, Vol. 1, New York: Springer.

Knorr, W. (1986). The Ancient Tradition of Geometric Problems, Boston, Birkhauser.

Mahoney, M. (1968). Another Look at Greek Geometrical Analysis en Archive for History of Exact Sciences, 5, pp. 318-348.

Netz, R. (1999). The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History, Cambridge: Cambridge University Press.

Pappus, (1876–78). Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, F. Hultsch (Ed.), Berlin: Weidmann.

Robinson, R. (1936). Analysis in Greek Geometry en Mind, Vol. 45, No. 180 (Oct., 1936), pp. 464-473.

Sefrin-Weis, H. (2010). Pappus of Alexandria: Book 4 of the Collection, London: Springer.

Szabó, Á. (1913). The Beginnings of Greek Mathematics, Dordrecht: D. Reidel.

_______. (1974). Working Backwards and Proving by Synthesis en The Method of Analysis: Its Geometrical Origin and Its General Significance, J. Hintikka and U. Remes (Eds.), 118–130. Dordrecht: D. Reidel.

Taisbak, C. M. (2003) Dedomena. Euclid’s Data or the Importance of Being Given, Denmark: Narayana Press.